Nombre d'or

Depuis l'antiquité, les géomètres et les philosophes ont cru à l'existence d'une proportion privilégiée que les artistes de la Renaissance appelèrent le "Nombre d'or".

C'est un nombre qui fascine les esprits depuis des millénaires. Le nombre d'or, que l'on désigne par la lettre grecque ? (Phi), en référence au sculpteur grec Phidias (500 av JC) qui l'utilisa pour travailler sur la statue d'Athéna décorant le Parthénon à Athènes.

Il semble présent dans la nature, les peintres l'ont utilisé (à l'image de Géricault avec "L'amour vache" ou Dali et encore Picasso) et il fut de très nombreuses fois utilisés par les architectes pour trouver des proportions harmonieuses.

Histoire

Le nombre d'or à travers le temps

• Il y a 10 000 ans: Temple d'Andros découvert sous la mer des Bahamas
• 2800 av JC: La pyramide de Khéops a des dimensions qui mettent en évidence l'importance que son architecte attachait au nombre d'or.
• V^ème siècle avant J-C: Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d'Athéna Parthénos. Il utilise également la racine carrée de 5 comme rapport.
• III^ème siècle avant J-C: Euclide évoque le partage d'un segment en "extrême et moyenne raison" dans le livre VI des Éléments.
• 1498 : Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématiques, écrit De divina proportione ("La divine proportion").
• Au cours du XX^ème siècle : des peintres tels Dali et Picasso, ainsi que des architectes comme Le Corbusier, eurent recours au nombre d'or.

Le nombre de tous temps

De tout temps, si on demande à des personnes de dessiner un rectangle quelconque, le format des rectangles sera (dans 75% des cas selon le physiologiste et philosophe allemand Gustav Fechner, en 1876) proche du nombre d'or.

Phi est également appelé "nombre divin". Comme l'ont démontré Léonard de Vinci et bien d'autres après lui, il régit les proportions de la nature. Par exemple, une coquille d'escargot possède une forme en spirale, et le rapport de la largeur de 2 spires consécutives vaut Phi. Et ce n'est pas le seul cas; le corps humain est également régie par cette proportion; de nombreuses études montrent aussi que le rapport entre mâles et femelles dans une ruche vaut également "phi". En botanique, "si les feuilles (et par conséquent les rameaux) d'une plante étaient espacées sur la tige par des intervalles d'exactement 137°30'28", aucune feuille ne se situerait exactement au-dessus d'une autre, ce qui diminuerait l'ombre portée par cette feuille sur les autres situés plus bas" (Bell, 1993, p. 222)

Principes

Le nombre d'or n'est pas réellement un nombre, mais plutôt le rapport entre deux nombres (d'ailleurs en anglais nombre d'or se dit golden ratio).

Phi (?) est un nombre irrationnel dont la valeur exacte est: Fichier:Phi.png

Propriétés algébrique du nombre d'or

Deux nombres sont dit être dans le rapport du nombre d'or ou dans la divine proportion, si le tout par rapport au plus grand est comme le plus grand par rapport au plus petit: (a+b) / a = a / b ou encore b / (a-b) = a / b

Après quelques manipulations algébriques (multiplier la première équation avec a/b ou la seconde avec (a ? b)/b), chacune des équations sont alors équivalentes à: (a / b)² = a / b + 1

et donc: a / b = ?

Finalement, afin d'utiliser la divine proportion, il vous suffira de calculer: a = ? * b

Carré du nombre d'or

Pour calculer le carré du nombre d'or, il suffit de lui ajouter 1: ?² = ? + 1

Inverse du nombre d'or

Pour calculer l'inverse du nombre d'or, il suffit de lui retrancher 1: '1/? = ? - 1

Puissances du nombre d'or

?² = ? + 1

?³ = ?² + ? = 2? + 1

?⁴ = 2?² + ? = 2? + 2 + ? = 3? + 2

?⁵ = 3?² + 2? = 3? + 3 + 2? = 5? + 3

?⁶ = 8? + 5

?⁷ = 13? + 8

Les puissances du nombre d'or s'expriment en fonction de phi et de 1 et les coefficients ne sont autres que les nombres de Fibonacci. Pour obtenir une puissance du nombre d'or, il suffit de connaître les deux puissances précédentes et de les additionner, ce qui est exactement le procédé de construction de la suite de Fibonacci!

Applications

Nous l'avons vu plus haut: a = ? * b. Il devient alors simple de trouver les longueurs nécessaire afin d'obtenir la proportion divine.

Le segment d'or

Une ligne est divisée en deux segments a et b. La ligne entière est au segment a ce que le segment a est au segment b.

a + b est à a ce que a est à b

Trouver un point

Il est possible de trouver un point idéal dans une figure géométrique. Appliqué à un rectangle de 5 cm sur 3 cm, nous avons: 5 cm divisé par 1,618 = 3,09 cm et 3 cm divisé par 1,618 = 1,85 cm. Il est ainsi possible de porter ces résultats sur le rectangle de quatre manières différentes:
Fichier:Rect-point1.png Fichier:Rect-point2.png Fichier:Rect-point3.png Fichier:Rect-point4.png

Pratiquement, ce type de point peut être utile en architecture ou encore en dessin afin de placer un point de fuite ou encore un objet important du dessin.

Le rectangle d'or

Un rectangle est appelé rectangle d'or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d'or.

Construction

Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé. (ceci est un "secret" de compagnonnage).

• ABCD est un carré de côté 1.
• K est le milieu du segment [AD].
• On trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la droite (AD) en E.
• On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle.
• ABFE est un rectangle d'or.

La spirale d'or

Prenez un rectangle d'or (L/l = phi). Enlevez-lui un carré formé à partir du plus petit côté. Le rectangle restant est un rectangle d'or! On peut ainsi continuer l'opération à l'infini. Et si maintenant on souhaite relier les côtés opposés des carrés on obtient une spirale logarithmique, dite spirale d'or.

L'angle d'or

Un angle d'or est un angle d'environ 137,5°. On le retrouve dans la nature, comme par exemple dans la pomme de pin, la fleur de tournesol... Il est obtenus par: 360°/(?+1)

Le triangles d'or

En géométrie, un angle d'or est un angle créé par la division de la circonférence (c) d'un cercle en une section a et en une plus petite section b, de sorte que: c = a + b

et c / a = a / b

Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or. Leurs angles doivent en conséquence mesurer 36° et 72°.

Fichier:Triangle-or.png AB / BC = ?, le triangle ABC est appelé triangle d'or.

Le triangle d'or a aussi la particularité (comme toutes les proportions divines) de pouvoir se répliquer à l'infini:
Fichier:Triangle-or1.png Fichier:Triangle-or2.png Fichier:Triangle-or3.png Fichier:Triangle-or4.png

Conclusions

Pour finir, le nombre d'or est un thème très controversé. Certains pensent qu'il est possible de trouver n'importe quel nombre n'importe où, qu'il suffit de chercher. Certains aussi pensent que le nombre d'or n'a jamais été utilisé dans l'art; qu'il y a confusion avec le rapport 5/8 = 0.625 souvent utilisé par les artistes. Mais ce même rapport ne pourrait-il par être une sorte d'approximation de Phi.

"Les nombres gouvernent le monde" disait Pythagore.

Mais maintenant, il ne vous reste plus qu'à vous faire votre propre opinion sur ce nombre magique ou non...

Webographie

En Français

• http://www.ifrance.com/expo/lenombre/Somca.htm
• Les pyramides et le nombre d'or
• a propos de l'angle d'or dans la nature
• plein de figures géométriques
• Utilisation de la règle d'or dans Tintin

En Anglais

• http://goldennumber.net/index.htm
• Fibonacci Spirals
• Phyllotaxis Home: un site sur la phyllotaxie, c'est-à-dire l'agencement des feuilles et des pétales sur les plantes et les fleurs, qui est souvent en rapport avec les nombres de Fibonacci et le nombre d'or.
• Fibonacci Numbers and the Golden Section
• Golden Ratio @ matworld
• Golden Mean in architecture

Bibliographie

En Anglais

• The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number by MARIO LIVIO. ISBN 0767908163